3. Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

1. PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN) DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

El producto de fracciones algebraicas se obtiene multiplicando los numeradores para luego dividir el resultado entre el producto de los denominadores. Ejemplo:

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se factorizan las expresiones en los numeradores y denominadores

2.  Se simplifica, cancelando los factores comunes en numeradores y denominadores

3.  Se multiplican entre sí las expresiones ubicadas en los numeradores, el resultado será el numerador de la fracción producto; asimismo, se multiplican entre sí las expresiones escritas en los denominadores, este producto será el denominador de la fracción resultado.  

Consejo: Para realizar los ejercicios siguientes es indispensable dominar por completo la factorización, por lo cual recomiendo que se estudie primero, concienzudamente, los casos de factorización. 

Multiplicar 

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

2. COCIENTE O DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Procedimiento:

Para efectuar la división de fracciones se procede de la siguiente forma:

1. Se invierte el divisor (el numerador se coloca en el denominador y, viceversa, el denominador se ubica en el numerador) y, se procede a multiplicar el dividendo por este divisor invertido

2. Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes:

a) Se factorizan las expresiones

b) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.

c) Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores; lo         propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; luego,       para el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y     en el denominador el producto de los denominadores

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

División de expresiones mixtas

Procedimiento

1.    Se reducen a fracciones y se dividen como tales.

2.    Se invierte el divisor (el numerador se coloca en el denominador y, viceversa, el denominador se ubica en el numerador) y, se procede a multiplicar el dividendo por este divisor invertido

3.    Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes.

a. Se factorizan las expresiones.

b. Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los        numeradores y  denominadores.

c. Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los     numeradores; lo  propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; luego, para el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores.

Simplificar:
1.      

 Solución:

  (reduciendo a fracciones)

         (invirtiendo el divisor, y cambiando el  signo de la operación)

           (simplificando)
                           (efectuando el producto indicado)

BIBLIOGRAFÍA

• Algebra (Aurelio Baldor)
• Matemática  Enciclopedia (Supermat).

2. Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Liliana camina todas las mañanas 5km en una hora. Los primeros 3km los recorre a una velocidad constante y pero, ya cansada, recorre los últimos 2km a una velocidad de v-2km por hora. ¿Con qué velocidad camina cada tramo?

Recordemos que, en esta situación el espacio recorrido se relaciona con la velocidad y el tiempo por la fórmula: e = v.t

Como puedes observar toda  expresión algebraica racional puede expresarse como cociente de polinomios.

1. DEFINICIÓN:

LAZO (2005) define la fracción algebraica como “un cociente de dos polinomios. El Polinomio P es el numerador y Q (no nulo) es el denominador de la fracción. Por ejemplo: las siguientes expresiones son fracciones algebraicas:

GONI (2003) dice que fracción algebraica es “toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador. Ejemplo:

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas:

2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

“Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyo numerador y denominador no tienen factores comunes”. (ENCICLOPEDIA SUPERMAT).

“Es posible simplificar una fracción algebraica cuando el numerador y el denominador poseen factores comunes”. (VILLEGAS, Mauricio).

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción:

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

3. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de  fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda:

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a² • b² • 15 que es lo mismo que 15a²b² y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Encontrado el m.c.d. (15a²b²) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior. 

Un ejemplo más:      Sumar 

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x  − 3)

Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador.

BIBLIOGRAFÍA

• Algebra (Sebastián Lazo)
• GOÑI GALARZA, Juan. Álgebra. Ed. Latinos Editores. Oruro –Bolivia
• Matemática  Enciclopedia (Supermat).
• VILLEGAS, Mauricio .Matemáticas 2000, volumen 3, Ed. Voluntad S.A. Santa Fe de Bogotá – Colombia, 1995.
• Fracciones algebraicas - Profesor en línea